Компьютерное моделирование в примерах

Моделирование Валерий Федорович Альмухаметов Математическое моделирование используется в качестве способа исследования сложных систем, не поддающихся простому логическому анализу. Для предсказания возможных результатов какого-либо явления или процесса на основе имеющихся данных применяют статистические модели. Модели распределительного типа позволяют сформировать обоснованные производственные планы. Симплексным методом последовательного улучшения можно получить оптимальные параметры процесса. Имитационное моделирование позволяет не только провести исследование динамики процесса, но и исследовать процесс на устойчивость функционирования. Эти модели на практических примерах, с пошаговыми иллюстрациями и пошаговым рассмотрением представлены в данном пособии. Пособие будет полезно студентам, аспирантам, научным работникам и всем интересующимся вопросами оптимизации и моделирования. Валерий Альмухаметов Моделирование Моделирование – это воспроизведение или имитирование существующей системы, явления или процесса с помощью модели. Математическая модель позволяет описать взаимосвязи и взаимозависимости различных, в том числе социальных и экономических систем, явлений или процессов в математической форме. Математическое моделирование включает предварительное изучение моделируемого процесса, его качественный и количественный анализ, определение основных факторов, влияющих на его показатели, определение объемов необходимых ресурсов, цели и критериев. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (ЭКОНОМОМЕТРИЧЕСКИЕ) Массивы данных, полученные в результате практических исследований после математической обработки, дают возможность вывести числовые значения коэффициентов корреляционной зависимости вида: Y = a X +a X …+…a X , , которое называется уравнение регрессии. Где Х это имеющиеся показатели процесса, которые влияют на определяемый показатель Y. Далее, подставляя желаемые числовые значения коэффициентов показателей X, получаем предсказание следующих значений Y. Пример постановки задачи Выпускаемое четырнадцатью предприятиями изделие (или продукция, выпускаемая в четырнадцать временных периодов) имеет шесть параметров (например, рабочая частота изделия, энергопотребление, вес…). Основной показатель S (например, производительность изделия) зависит от этих параметров. Необходимо определить корреляционную зависимость, позволяющую предсказывать величину показателя S от всех шести параметров. Практическое задание 1 Имеются исходные данные, которые были получены в результате ряда опытов или из сравнения подобных объектов. Количество опытов при этом должно быть, как минимум на один больше количества параметров объекта или процесса. 1.Занести данные на лист Excel и найти среднее значение всех факторов, позволяющее в дальнейшем использовать исследование безразмерных данных в соответствии с понятием коэффициент эластичности, позволяющего установить степень доверия к полученным результатам. Коэффициенты эластичности определяют и оценивают процентное изменение результата с увеличением или уменьшением каждого отдельного показателя на 1% при фиксированном значении остальных показателей и вычисляется как отношение среднего значения показателя к среднему значению результата. 2.Для вывода уравнения регрессии открыть и подключить (Файл, Параметры, Надстройки, Управление, перейти) надстройку Excel – пакет анализа. 3.Через меню Excel (Данные, Анализ данных) выполнить расчет и вывести итоги. Получено достаточно высокое значение коэффициента корреляции 0,99, говорящее о том, что представленные данные хорошо описывают исследуемый процесс. 4.Вывести уравнение регрессии Y = A + A X + A X + … Коэффициент уравнения А0 находится в ячейке В36, значение его 653.0, далее коэффициент А1 в ячейке В37 со значением 2.419 и так далее; 5. Проверить полученное уравнение регрессии для каждого из ряда данных. В ячейке I1, строим формулу, получаем значение параметра Y для первого опыта. =$B$36+$B$37*A1+$B$38*B1+$B$39*C1+$B$40*D1+$B$41*E1+$B$42*F1+$B$43*G1+$B$44*H1 Не забываем фиксировать адреса ячеек коэффициентов клавишей F4 клавиатуры. Копируем результат ячейки первой строки исходной таблицы на все строки. 6.Выявить параметры, имеющие низкую значимость, используем для этого показатель t- статистика и исключаем из таблицы данных параметры, имеющие низкое < ?2 ? значение показателя, это переменные 1 и 5, соответствующие коэффициентам ячеек В37 и В41. Уравнение при этом принимает вид: =$B$36+$B$38*B1+$B$39*C1+$B$40*D1+$B$42*F1+$B$43*G1+$B$44*H1 Повторяем расчеты для обновленных данных, строим уравнение регрессии и выводим данные по каждому опыту в дополнительный столбец. 7. График зависимости показателя Y для опытов и на этом же графике интерполяционные зависимости, полученные из уравнений регрессии, если его построить, показывает совпадение расчётных данных с экспериментальными, следовательно, уравнением регрессии можно пользоваться для дальнейшего предсказания результатов. Практическое задание 2 1.Заполнить ячейки EXCEL исходными данными. 2.Найти среднее значение всех факторов Х, позволяющее в дальнейшем использовать исследование в соответствии с понятием коэффициент эластичности (меню ГЛАВНАЯ, Редактирование, Другие функции, найти =СРЗНАЧ() и указать аргументом диапазон колонки чисел, затем скопировать функцию на все колонки): 3.Загрузить надстройку анализ данных (меню Данные, анализ данных, выбрать регрессия). 4.Настроить параметры в окне регрессии: входной интервал Y – указать выделением мышью диапазон Y, входной интервал Х указать выделением мышью все числовые значения Х, Параметры вывода можно оставить Новый рабочий лист или щелкнуть на свободное место текущего листа. 5.Получить коэффициенты уравнения регрессии и коэффициент корреляции. Уравнение регрессии при этом выглядит следующим образом: Y1=34,2199 -0,0603x1-1,77084x2-0,00143x3+1,089928x4-0,00035x5+0,01854x6 Подставляя в полученное уравнение числовые значения факторов можно предсказать дальнейшее изменение определяемого параметра Y. 6.Используя уравнение регрессии, получить значения выходного параметра для всех опытов: выбрать ячейку К2 занести формулу затем скопировать формулу на все опыты по столбцу. =34,22-0,06*C2-1,77*D2-0,00143*E2+1,09*F2-0,00035*G2+0,01854*H2 7.Выделить диапазон J2:K15 и построить график. Некоторые факторы демонстрируют плохую корреляцию с определяемым параметром, поэтому по таблице Стьюдента с вычисленным уровнем значимости и известным количеством опытов можно найти критическое значение параметра t-статистика и исключить некоторые из факторов. Проверка значимости модели регрессии также может быть проведена с использованием F-критерия Фишера. Значимость факторов может также продемонстрировать коэффициент эластичности. 8.Вычислить коэффициенты эластичности каждого из факторов. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак У, при изменении факторного признака Х на 1%. Коэффициент эластичности находится по формуле: Е = К * Х /Y где К – коэффициент уравнения регрессии при факторе, Х и Y средние значения фактора и параметра. В результате получены коэффициенты: Оказалось, что лишь изменение факторов Х3 и Х4 может существенно влиять на результирующий показатель. 9.Исключить из ряда факторов те, у которых малая по абсолютному значения величина параметра t-статистика, это переменные Х1, Х2, Х5, Х6, и, снова получить коэффициенты уравнения регрессии и коэффициент корреляции; Коэффициент корреляции при этом уменьшился, но все факторы имеют высокий уровень значимости и их достаточно для описания процесса. Уравнение регрессии при этом выглядит следующим образом: Y2=28,89433-0,00124x3+0,83244x4 БАЛАНСНЫЕ МОДЕЛИ (ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА) Этот тип задач относится к классу балансных моделей, они имеют особенности: ограничения заданы в виде уравнений, каждое из неизвестных входит в два уравнения, коэффициенты при неизвестных равны единице. Пример решения задачи Постановка задачи: В хозяйстве за время уборки при заготовке кормов необходимо перевезти 4000 т. кормов с пяти полей к четырем фермам, в том числе с первого поля 600 т., второго 240 т., третьего 1360 т., четвертого 1000 т. и пятого 800 т. Для первой фермы требуется 600 т. кормов, второй 800 т., третьей 1400 т. и четвертой 1200 т. Известно расстояние от каждого поля до каждой из ферм. Требуется составить такой план перевозок, который обеспечил бы минимальные транспортные затраты. Таким образом, количество перевозимого груза точно равно потребности, следовательно, ограничения задаются уравнениями (закрытая модель). Открытая модель всегда должна приводится к закрытой путем введения фиктивного пункта отправления или потребления. Перевозки производятся от каждого поля к каждой из ферм, следовательно, каждое неизвестное входит в два уравнения. Число базисных неизвестных в задачах этого типа должно равняться M+N-1, где M- количество пунктов отправления, а N- количество пунктов назначения. Если условие по числу неизвестных в задаче выполняется, то план задачи называется невырожденным, иначе вырожденным и в этом случае в план вводят дополнительные небазисные неизвестные с нулевыми исходными значениями. Для решения транспортной задачи составляется расчетная таблица, включающая в строках, например, перечисление полей, в столбцах, например, перечисление ферм. Предпоследняя строка – это потребность ферм в кормах, предпоследний столбец – это наличие кормов на полях, последний столбец и строка предназначены для дополнительных, необходимых для решения задачи, коэффициентов. В правом верхнем углу каждой ячейки таблицы указаны расстояния между полями и фермами. 1.Первый опорный план строим разными методами: Методом “северо-западного угла”, заполнение клеток таблицы при этом начинается с левого верхнего угла. В этой ячейке указывается величина перевозимой массы с учетом ограничений по предпоследней строке и предпоследнему столбцу таблицы. Производится переход к следующей, соседней ячейке. Методом наилучшего элемента в строке: в первой строке выбирается ячейка с наименьшим значением расстояния и с учетом ограничения по строке или столбцу производится заполнение, затем вторая строка и так далее. При наличии в строке клеток с одинаковыми значениями выбирается та, где будет произведено наибольшее по значению действие. Конец ознакомительного фрагмента. Текст предоставлен ООО «ЛитРес». Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (https://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=66957738&lfrom=688855901) на ЛитРес. Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.